Главная / Арифметика / Простые и составные числа / Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Наибольший общий делитель двух, трех и более чисел

Всякое натуральное число возможно разделить на 1 и на само себя. Числа, которые делятся только на 1 и на себя, называются простыми. Наименьшим простым числом считается 2. Двойка — единственное четное число среди бесконечного множества простых чисел, все остальные простые числа — нечетные. Многие натуральные числа могут делиться без остатка и на другие натуральные числа. Возьмем число 16: помимо 1 и 16 оно делится на 2,4,8. Натуральные числа, у которых больше двух делителей, считаются составными. Делителем натурального числа а является такое число Д, на которое число а делится полностью без остатка. Делители чисел обозначают буквой Д.

У многих натуральных чисел имеются общие делители, т.е числа, на которые оба числа делятся полностью. Наибольшим общим делителем 2-х чисел является наибольшее число, на которое эти числа будут делится нацело. Наибольший общий делитель 2-х чисел a, b можно записать как НОД(a, b). В том случае, если НОД 2-х и более чисел равняется 1, их считают взаимно простыми.

Для определения НОД 2-х (и более) чисел следует:

  • разложить делители двух чисел на простые множители;
  • выделить одинаковые простые множители в каждом из чисел;
  • вычисляем произведение этих множителей, что и является НОД двух чисел.

Есть два способа записи нахождения НОД: в столбик и в строчку.

Например, разложим делители 14 и 16 на простые множители:
делитель 14 раскладывается на 1, 2, 7,14
делитель 16 разложим на 1, 2, 4, 8,16
Д (14; 16) равняется {1, 2}, тогда НОД (14; 16) = 2.

Определить НОД двух чисел возможно, применив алгоритм Евклида.

Для этого записываем заданные нам числа в уменьшающейся последовательности, т.е. впереди записываем максимальное число, за ним — минимальное. Затем записываем остаток, полученный от деления первого числа на второе. Следующим шагом будет деление заданного меньшего числа на полученный остаток. Если вновь получили остаток, то первый остаток делим на второй. Деление продолжается, пока последний член последовательности не будет равен 0. Последнее число в этой последовательности, стоящее перед 0, и является НОД двух чисел. В данном случае применяется рекурентная формула для НОД:

НОД (a, b) = НОД (b, a mod b)

в данном выражении a mod b — остаток от деления двух чисел a на b.

Наименьшее общее кратное двух, трех и более чисел

Для совершения операций с дробями, имеющими разные знаменатели, их нужно приводить к общему знаменателю, для чего требуется определить наименьшее общее кратное, которое обозначается как НОК. Кратным числа а считается число, которое делится на заданное число полностью, без остатка. К примеру, числами, кратными 5, будут 10, 15, 20... Чисел, кратных числу а (в нашем случае — 5) бесконечно много, в то же время делителей числа а — конечное количество. В нашем случае делители: 5, 1. Общим кратным 2-х и более натуральных чисел будет число, которое разделится на оба числа полностью, без остатка. НОК для этих чисел является наименьшее число, которое поделится само без остатка на каждое из заданных чисел.

Есть несколько способов нахождения НОК.

1-й способ:

  • раскладываем заданные числа на простые множители;
  • выписываем в строчку все простые множители из разложения одного самого большого числа;
  • дописываем в это разложение другие множители из разложения 2-го числа, не вошедшие в разложение первого числа;
  • перемножив выписанные множители мы получим наименьшее число, которое поделится без остатка на заданные числа. Это будет НОК наших чисел.

2-й способ применяется для небольших чисел:

  • вначале выписываем в строчку поотдельности кратные числа для каждого заданного числа;
  • выбираем среди них наименьшее общее кратное для обоих чисел. Буквой К обозначается кратное числа.

Следует запомнить, что НОК взаимно простых чисел, у которых отсутствуют общие простые делители, равняется произведению этих чисел.
Если одно число делится полностью без остатка на другие, НОК этих чисел равняется этому числу.

Чтобы быстро и правильно рассчитать НОК и НОД 2-х и более чисел воспользуйтесь онлайн калькулятором.

Нахождение НОК и НОД

Первое число
Второе число
Наименьшее общее кратное
Наибольший общий делитель