Главная / Алгебра / Система линейных уравнений / Решение СЛАУ методом LU-разложения

Решение СЛАУ методом LU-разложения

Метод LU — разложения (декомпозиции) — один из способов решения системы линейных уравнений. Алгоритмы метода схожи с алгоритмами метода Гаусса.

Суть метода состоит в том, чтобы представить исходную матрицу коэффициентов А как произведение двух треугольных матриц.

А = LU, где L — нижняя треугольная матрица с единичной диагональю, U — верхняя треугольная матрица. LU — разложение возможно, когда:
— матрица А обратима;
— главные миноры матрицы отличны от 0.

LU — разложение используют для решения систем линейных уравнений вида: Ах = b.

Т.к. А = LU, исходную систему можно представить в виде равенства: LUх = b. Если ввести вектор у = (у1, у2,...,уn)t, равенство можно представить как систему: Решение СЛАУ
Т.е. решение системы Ах = b заключается в решении двух систем с треугольными матрицами: Lу = b, Uх = у.

На первом этапе решается система Lу = b. Т.к. L — нижняя треугольная матрица, система решается прямой подстановкой.

Запишем первую систему в виде: Решение СЛАУ
В первом уравнении вычисляем у1, во втором — у2, в третьем — у3 и т.д.

Общая формула: Решение СЛАУ
На втором этапе решается вторая система Uх = у способом обратной подстановки.
Система имеет вид: Решение СЛАУ
Из последнего уравнения системы находим хn, из предпоследнего хn-1 и т.д., из первого находим х1.
Общая формула для решения системы имеет вид: Решение СЛАУ
Быстро решать системы линейных уравнений методом LU — разложения можно с помощью онлайн калькулятора.


Решение системы линейных алгебраических уравнений методом LU

 — количество неизвестных