Уравнение второго порядка

В дифференциальных уравнениях (ДУ) второго порядка обязательно есть вторая производная у'', но отсутствуют производные высших порядков.

Различают два типа линейных дифференциальных уравнений (ДУ) 2-го порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.

Однородное ДУ имеет вид: у'' + ру' + qу = 0. В правой части уравнения всегда будет 0, р, q — числа.

Неоднородное ДУ имеет следующий вид: у'' + ру' + qу = f (х), где р, q — постоянные числа, в правой части уравнения — функция f (х), которая зависит только от х. Наиболее простой случай — f (х) является числом, кроме 0.

Решить дифференциальное уравнение, значит, найти все решения, удовлетворяющие этому уравнению.

Чтобы решить однородное уравнение 2-го порядка, нужно вначале составить характеристическое уравнение. Для этого заменим первую производную «лямбдой», а вместо у ничего не запишем. В результате получим обычное квадратное уравнение вида: λ² + рλ + q = 0.

Далее находим корни уравнения. Здесь возможны 3 варианта.

1 вариант. Дискриминант (D) больше 0, тогда характеристическое уравнение λ² + рλ + q = 0 имеет 2 разных действительных корня (λ₁, λ₂).

Общее решение ДУ принимает следующий вид: у = С₁е^λ₁х + С₂е^λ₂х (С₁, С₂ — произвольные числа).

При λ₁ = 0 общее решение уравнения упрощается: у = С₁ + С₂е^λ₂х.

2 вариант. Дискриминант равен 0, тогда характеристическое уравнение имеет 2 равных действительных корня. В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид: у = С₁е^λ₁х + С₂хее^λ₁х. Т.к λ₁ = λ₂, в формулу можно поставить λ₂.
Если оба корня равны 0, получим общее решение уравнения: у = С₁е^0х + С₂xе^0х = С₁ + С₂x.

3 вариант. Дискриминант меньше 0, уравнение λ₂ + рλ + q = 0 имеет сопряженные комплексные корни: λ₁ = а — bi, λ₂ = а + bi.
Общее решение уравнения будет иметь такой вид: у = е^ах • (С₁соs Вх + С₂sinВх).

Чтобы решить неоднородное уравнение у'' + ру' + qу = f (х), нужно:
1. записать соответствующее однородное уравнение, обнулив правую часть неоднородного уравнения: у'' + ру' + qу = 0 и найти его общее решение.
2. способом подбора найти частное решение неоднородного уравнения.
3. составить общее решение неоднородного уравнения.