Решение кубического уравнения

Уравнение представляет собой равенство, содержащее букву, значение которой нужно найти. Для обозначение неизвестных чисел наиболее часто пользуются буквами х, у, z. Кубическое уравнение — уравнение 3-го порядка вида: ax³ + bx² + cx + d = 0, где a не равно 0.

Решить уравнение означает найти такие значения числа х, подстановка которых в уравнение дает верное равенство. Число х будет корнем уравнения.
В кубическом уравнении 3 корня, которые могут быть как вещественными, так и комплексными. Как минимум один из них является действительным корнем.

Простейшим случаем таких уравнений является двучленное кубическое уравнение вида Ах³ + В = 0. Для решения такого уравнения необходимо:

1. разделить уравнение на коэффициент А, не равный 0, получим: х³ + В/А = 0
2. применить формулу сокращенного умножения суммы кубов, получим: .
В первой скобке получим корень х, равный: .
Во второй скобке получим квадратный трехчлен с комплексными корнями: .

Уравнение вида Ах³ + Вх² + Вх + А = 0 называется возвратным кубическим уравнением, А и В — коэффициенты.

Для решения возвратного уравнения нужно произвести группировку, после чего получим:
В первой скобке получим корень, равный -1. Во второй скобке у нас квадратный трехчлен Ах² + х (В — А) + А. Для решения квадратного трехчлена определяем дискриминант, а затем находим его корни.

Кубические уравнения с рациональными корнями

Пусть х, равное 0, будет корнем уравнения Ах³ + Вх² + Сх + D = 0, тогда свободный член D будет равен 0, а уравнение примет вид: Ах³ + Вх² + Сх = 0.

Выносим х за скобки, получаем уравнение: х (Ах² + Вх + С) = 0. Корни полученного квадратного трехчлена находим через дискриминант.

Найти корни кубического уравнения можно по формуле Кардано

Пусть дано уравнение А₀х³ + А₁х² + А₂х + А₃ = 0.

Разделим все коэффициенты на А₀, получим: В₁ = А₁ / А₀, В₂ = А₂ / А₀, В₃ = А₃ / А₀, затем находим значение р и q: .

Полученные значения р и q подставляем в формулу Кардано: .

Выбираем значение кубических корней, чтобы их произведение равнялось — р / 3. Корни исходного уравнения будут равняться: х = у — В₁ / 3.

Быстро найти корни кубического уравнения вы можете при помощи онлайн калькулятора.