Главная / Алгебра / Система линейных уравнений / Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Для решения любой системы линейных уравнений метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных является наиболее универсальным и достаточно простым при небольшом количестве переменных. Этот метод универсален, его применяют, когда система уравнений имеет:

  • единственное решение;
  • бесконечное множество решений;
  • вовсе не имеет решений.

Суть метода состоит в переходе от заданной системы линейных уравнений к более простой с помощью таких эквивалентных преобразований в системе, как:

  • перемена двух уравнений местами;
  • умножение обеих частей уравнения на любое действительное число, не равное 0;
  • прибавление к одному уравнению соответствующих частей другого, умноженных на произвольное число.

С помощью преобразований последовательно исключаем одну переменную за другой пока в одной из строк не будет определена переменная xi.

Метод Гаусса позволяет решать СЛАУ при небольшом числе вычислительных операций.

Алгоритм решения:

  • записываем систему в виде расширенной матрицы;
  • прямой ход — приводим матрицу к ступенчатому виду;
  • обратный ход — приводим матрицу к специальному ступенчатому виду.

Пусть дана система из n уравнений с n неизвестными переменными:
Решение системы линейных уравнений
Определитель основной матрицы не равен 0.

Исключим из всех уравнений системы переменную х1, начиная со 2-го, для чего:

  • ко 2-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на — а2111;
  • к 3-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на — а3111, и т.д.;
  • к n-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на — аn111.

В результате преобразований система приняла вид:
Решение системы линейных уравнений
Далее таким же путем исключаем неизвестную переменную х2 из всех уравнений, начиная с 3-го.

Для этого к 3-му уравнению прибавляем 2-е, умноженное на — а3222 и т.д. К n-му уравнению прибавим 2-е, умноженное на — аn222.

Таким же способом исключаем неизвестную х3 из всех уравнений системы, начиная с 4-го.

Прямой ход продолжается, пока в последнем уравнении не останется единственная неизвестная. Система будет иметь вид:
Решение системы линейных уравнений

аnn(n-1) хn = bn(n-1)

После окончания прямого хода метода Гаусса — последовательного исключения неизвестных, вычисляем неизвестную в последнем уравнении:

  • из последнего уравнения системы находим хn по формуле:
  • из предпоследнего уравнения находим хn-1 и т.д.
  • из первого уравнения находим х1.

Последовательное нахождение неизвестных, начиная с последнего уравнения к первому, называется обратным ходом.

Заметим, если в матрице есть хоть одна нулевая строка, у которой правая часть (свободный член) не равна 0, система несовместима, решения отсутствуют.

Для быстрого и правильного решения СЛАУ методом Гаусса можно воспользоваться калькулятором онлайн.


Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

 — количество неизвестных