Ортоцентр треугольника

Перпендикуляр, проведенный из любой вершины треугольника на противолежащую ей сторону, будет его высотой, а сторона — основанием. Если из каждой вершины треугольника провести высоту, то точка пересечения этих высот (с возможным их продлением) является ортоцентром треугольника, как правило, обозначается Н.

Высоту треугольника (h), опущенную на сторону а можно определить через сторону и угол: h_a = csinβ = bsinγ, где а — основание треугольника, b, с — стороны, β, γ — углы прилежащие к основанию.

Также длину высоты можно вычислить через радиус описанной окружности R и стороны (b, с) / h = (b · с) / 2R.

Исходя из вида треугольника ортоцентр может располагаться:

• внутри треугольника (в случаях с остроугольными треугольниками);
• за его пределами (в тупоугольных треугольниках, где один угол больше 90);
• совпадать с вершиной прямого угла, если треугольник прямоугольный.

Ортоцентр треугольника и любая из его вершин будут ортоцентром треугольника, вершины которого находятся в остальных трех точках. Эти четыре точки считаются ортоцентрической системой точек. У окружностей, проведенных через 3 точки данной системы, радиусы равны.

Ортоцентр остроугольного тр-ка служит центром вписанной в его ортотреугольник окружности.

Центр описанной около треугольника окружности является ортоцентром треугольника, вершины которого расположены в серединах сторон данного тр-ка.

На прямой Эйлера располагается центр описанной окружности, центроид и ортоцентр треугольника.

Отрезок от вершины до ортоцентра (Н) в 2 раза больше отрезка от центра описанной окружности (О) до стороны, противоположной вершине.

Сумма квадратов отрезка от вершины до ортоцентра и стороны, расположенной против этой вершины, равняется учетверенному квадрату радиуса описанной окружности ^®.

Пусть отрезок АН соединяет вершину А треугольника АВС с ортоцентром Н, а сторона а противолежит этой вершине, тогда: АН² + а² = 4 R².

С помощью калькулятора можно быстро вычислить ортоцентр треугольника.