Метод наименьших квадратов

Одним из математических методов, используемых при решении определенных практических задач, является метод наименьших квадратов (МНК). Это — метод регрессионного анализа с целью оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Смысл метода в миниминизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. МНК используется для приближенного представления (аппроксимации) функции более простыми функциями при нахождении совокупности величин, удовлетворяющих уравнениям или ограничениям, число которых больше числа этих величин.

Предположим, в поле исследования попала сеть гастрономов. Торговую площадь магазина (кв.м) обозначим Х, годовой товарооборот (млн.руб.) Y. Как правило, чем больше торговая площадь магазина, тем больше товарооборот. Всего было исследовано n магазинов, результаты исследований можно записать в виде точек М1 (х1;у1), М2 (х2;у2)... Мn (хn;уn) и изобразить в декартовой системе ХОY. Вполне естественно, чем больше объектов исследуется, тем более точным будет результат, отражающий общую закономерность. Следует подобрать такую функцию у = f (х), график которой расположен как можно ближе к точкам М1, М2,... Мn. Такая функция получила название аппроксимирующей от слова аппроксимация, что означает приближение. Функция должна быть простой и как можно точнее отражать зависимость, приближать экспериментальные данные. Одним из методов нахождения подобных функций стал метод наименьших квадратов.

Пусть функция у = f (х) приближает данные М1 (х1;у1), М2 (х2;у2),... Мn (хn;уn), взятых в качестве эксперимента. Чтобы определить, насколько точно данное приближение, находим f (х1), f (х2), ... f (хn) и разность между экспериментальными значениями и функциональными: е1 = у1 — f (х1), е2 = у2 — f (х2),... еn = уn — f (хn).

Сумма разностей (отклонений) е1 + е2 + ... еn не всегда может быть использована для оценки точности приближения, т.к. иногда разность может быть отрицательной, что искажает общий результат. В связи с этим для оценки точности приближения вычисляют сумму модулей отклонений: |е1| + |е2| + ... |еn| или Σ ni-1|еi|. Находим значения сумм, где сумма меньше, функция точнее. Это — метод наименьших модулей.

Но метод наименьших квадратов более практичный и распространенный.
Здесь возможные отрицательные значения е отсутствуют из-за возведения отклонений в квадрат: e1 + e2 + ... + e2n
Выбираем функцию у = f (х), чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей.

Метод наименьших квадратов позволяет найти уравнения линейной, квадратичной, степенной, логарифмической, показательной, экспоненциальной регрессии, коэффициенты и индексы корреляции и детерминации.

Введите количество пар

Угловой коэффициент m
Y - пересечение
Уравнение линии - Y