Главная / Алгебра / Операции над векторами / Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов

Отрезок прямой, имеющий численное значение и направление, называется вектором, обозначается латинской буквой со стрелкой сверху. Над векторами можно совершать различные линейные операции, в том числе умножение. Помимо умножения векторов на числа, вектора можно перемножать друг с другом. Произведение длин векторов на косинус угла между ними называется скалярным произведением векторов.

a · b = |a| · |b| cos α

В результате перемножения двух векторов получаем положительное или отрицательное число (скаляр). Знак зависит лишь от значения косинуса, т.к. длина ненулевого вектора всегда величина положительная.
Скалярное произведение можно записать через координаты векторов а и b. Скалярное произведение векторов равняется сумме попарных произведений соответствующих координат этих векторов.
На плоскости.
Пусть координаты векторов: a = {ax ; ay} и b = {bx ; by}, тогда скалярное произведение определяем по формуле:

a · b = ax · bx + ay · by,

В пространстве.
Пусть векторы а и b заданы координатами: a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz}, вычисляем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz,

Скалярное произведение n — мерных векторов определяем по формуле:

a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + ... + an · bn,

где a = {a1 ; a2 ; ... ; an} и b = {b1 ; b2 ; ... ; bn}

Свойства скалярного произведения векторов:
1. скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его модуля и всегда будет больше или равно нулю.
2. скалярное произведение нулевого вектора на себя равно нулю.
3. a · b = b · a — коммуникативный или переместительный закон скалярного произведения.
4. скалярное произведение не нулевых векторов равняется нулю, если векторы ортогональны.
5. (аa) · b = а(a · b) — константу можно вынести из скалярного произведения.
6. (a + b) · c = a · c + b · c — скобки можно раскрывать.
Кроме скалярного произведения существует векторное произведение. В этом случае результатом перемножения двух векторов является вектор.

Быстро рассчитать скалярное произведение векторов вам поможет онлайн калькулятор.

Размерность векторов:
Форма представления первого вектора:
Форма представления второго вектора:

Введите значения векторов


Первый вектор

a
= {,,}


Второй вектор

b
= {,,}