Линейными неравенствами с одной переменной х называются неравенства, в которых неизвестное находится исключительно в первой степени, вида:
ах + b < 0;
ах + b > 0;
ах + b >= 0;
ах + b <= 0,
где а, b - любые действительные числа, х - переменная, число а не равно 0. В отличии от уравнения, где используется знак равенства « = », в неравенстве используют знаки сравнения: меньше <, больше >, больше или равно >=, меньше или равно <=. Первые два неравенства называются строгими, остальные два - нестрогими.
Правила преобразования неравенств:
- любой член неравенства можно переносить из левой части в правую и наоборот, поменяв знак на противоположный;
- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, получим равносильное ему неравенство, знак неравенства сохраняется;
- знак меняется на противоположный, если обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число.
Рассмотрим решение линейного неравенства ах + b < 0 при а не равном 0:
- переносим число b в другую часть неравенства, меняя при этом знак на противоположный, получим равносильное неравенство: ах < - b;
- делим обе части неравенства на число а, отличное от 0. Знак неравенства не меняется, если а - положительное, меняется на противоположный, если а - отрицательное число. Получим: х > — b/а или х <- b/а.
Если а = 0, возможны 2 варианта:
1. при b > 0 х может быть любое число;
2. при b < 0 решений нет.
Решать линейные неравенства можно с использованием метода интервалов (при а не равном 0) и графическим способом.
Линейными неравенствами с 2-мя переменными являются неравенства вида:
ax + by + c > 0;
ax + by + c < 0;
ax + by + c >= 0;
ax + by + c <= 0.
В отличие от неравенства с одной переменной (х) в данном неравенстве содержится еще одна переменная (у).
Решение неравенства подразумевает нахождение всех значений переменной, при подстановке которых неравенство будет верным числовым неравенством. При решении используют равносильные преобразования, чтобы заменить данное неравенство более простым. В результате преобразования в левой части неравенства должно остаться только неизвестное с коэффициентом «1».
Три правила решения линейных неравенств
При перемещении слагаемых из одной части в другую отрицательные величины становятся положительными, и наоборот. Знак самого неравенства при этом сохраняется x – y > z => x – z > y => x > z + y.
При умножении или делении обоих частей на одинаковое положительное число неравенство останется правильным и его знак не изменится x < z => yx < yz => x/y < z/y.
Если множитель (делитель) является отрицательным, знак неравенства необходимо заменить на противоположный x < z => -yx > -yz => -x/y > -z/y.
