Главная / Алгебра / Операции с матрицами / Определитель матрицы

Определитель матрицы

При решении сложных систем уравнения большую роль играет определитель матрицы или детерминант матрицы. Это — важнейшая численная характеристика квадратной матрицы, используемая при решении многих задач. На вычислении определителя матрицы основан метод Крамера решения систем уравнений, он позволяет определять наличие и единственность решения систем уравнений. Обозначается определитель матрицы: det (A), |A|, или ∆(A). Определителем квадратной матрицы А размера n х n является число:

det (A) = Σ (-1)N (α1,α2,...,αn)·aα11·aα22·...·aαnn
(α1,α2,...,αn)

В данном выражении а1,а2,...,аn — перестановка чисел от 1 до n, N (а1,а2,...,аn) — количество инверсий при перестановке. Суммирование производится по всем перестановкам порядка n.

Свойства определителей:

  • Определитель матрицы с двумя равными или пропорциональными строками (столбцами), с нулевой строкой (столбцом), с двумя или несколькими линейно зависимыми строками (столбцами) равняется нулю.
  • Определитель единичной матрицы равняется единице: det (E) = 1.
  • Определитель матрицы не меняется при транспонировании.

Способы вычисления определителя матрицы:

1. Значение определителя матрицы 1×1 равняется значению ее элемента:

∆ = |a11| = a11

2. Значение определителя матрицы 2×2 равняется разности между произведениями элементов главной диагонали и побочной.

∆ =
a11 a12
a21 a22
= a11·a22 — a12·a21

3. Определитель матрицы 3×3 равен разности между суммой произведений элементов главной диагонали плюс произведение элементов лежащих на треугольниках, грань которых параллельна главной диагонали, и суммой произведений элементов побочной диагонали и элементов, лежащих на треугольниках с параллельной побочной диагонали гранью.

∆ =

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 — a13·a22·a31 — a11·a23·a32 — a12·a21·a33

Значение определителя матрицы 3-го порядка (3×3) можно рассчитать, используя правило Саррюса.
4. Определитель матрицы произвольного размера рассчитывается как сумма произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения.

n
det (A) =  Σ aij·Aij  — разложение по i-той строке
j = 1

5. Определитель матрицы произвольного размера можно расчитать как суииу произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

n
det (A) =  Σ aij·Aij  — разложение по j-тому столбцу
i = 1
Очень важно точно и правильно находить определитель матрицы, т.к. с увеличением размера матрицы расчеты становятся более сложными и громоздкими, что может привести к ошибке в ходе решения и окончательном ответе. С помощью онлайн калькулятора вы сможете произвести расчеты правильно и намного быстрей.


Размер матрицы:

Введите значения Матрицы:

A =